RELACIONES DE CONJUNTOS

RELACIONES

Dado dos conjuntos no vacíos A y B, una relación R es un conjunto de pares ordenados en donde el primer elemento “a” está relacionado con el segundo elemento “b” por medio de cierta propiedad o característica.

aRb ®Notación

Ejemplo:

x = {a, b, c, d}

R = {(a, a), (b, c), (c, b), (d, d)}

EJERCICIOS

En los ejercicios 1 a 4, escribe la relación como un conjunto de pares ordenados

1.-           (A)                          (B)

                8840     -------      Martillo

                9421       -------    Tenazas                

                452         --------   Pintura

                2207       -------    Alfombra

b= { (8840, Martillo), (9421, Tenazas), (2207, Alfombra) }

2.-           (A)                          (B)

                a      ---------         3

                b      --------          1           

                b      ---------        4

                c     ----------        1

   B={ (a,3), (b,1), (b,4), (c,1) }

3.-           (A)                          (B)

                Susana --------   Matemáticas

                Ruth      -------    Física                   

                Samuel --------   Economía

  B= { (Susana, Matemáticas), (Rut, Física), (Samuel, Economía) }

4.-           (A)                          (B)

                a    ------------      a

                b    ------------     b                            

 B= { (a, a), (b, b) }

En los ejercicios 5 al 8, escribe la relación como tabla.

 5.- B= { (a, 6), (b, 2), (a, 1), (c,1) }   

                                                                      (A)                                      (B)

                                                                       a       ---------         6

                                                                       b        ------           2

                                                                       a      ---------         1

                                                                       c      ----------       1

6.- B= { (Rogelio, Música),  (Patricia, Historia), (Benjamín, Matemáticas), (Patricia, Ciencias Políticas) }

                                                                    (A)                          (B)

                                                                    Rogelio   ------    Música

                                                                    Patricia    ------   Historia

                                                                    Benjamín ------  Matemáticas

                                                                    Patricia    ------   Ciencias Políticas

7.- La relación B en {  1, 2, 3, 4 } definida por

X= {  1, 2, 3, 4 }                           B7= { (1,1), (2, 1) …

Y= { 1, 2, 3, 4 }

8.- La relación B del conjunto  X de planetas al conjunto Y de enteros definida por (x, y) EB si x está en la posición y respecto al sol (es más cercano al sol está en la posición 1, el segundo más cercano al sol está en la posición 2, y así sucesivamente)

               X (planeta)                          Y (posición)

                Mercurio     --------------------        1

                Venus      ------------------------       2

                Tierra      -------------------------     3

                Marte     ------------------------       4

                Júpiter    ------------------------       5

                Saturno   ------------------------      6

                Urano   ------------------------        7

                Neptuno   ----------------------       8

En los ejercicios 9 al 12 dibuje la digrafica de la relación.

9.- La relación del ejercicio 4 en {  a, b, c }

10.- La relación B= { (1, 2), (2, 1), (3, 3), (1, 1), (2, 2) } sobre     x= {1, 2, 3}

11.- La relación B= { (1, 2), 2, 3), (3, 4), (4, 1) } en { 1, 2, 3, 4 }

12.- La relación del ejercicio 4

En los ejercicios 13 al 16, escriba la relación como conjunto de pares ordenados.

                             13.-

                                         B= { (a, b), (b, a), (b, d), (a, c), (c, c), (c, a) }

                             14.- 

                                       B= { (1, 1), (2, 2), (3, 3), (3, 5), (5, 5), (5, 4), (4, 4), (4, 3) }

                           15.-    

                                                                            B= { Ø  }

                              16.- 

                                                            B= { (b, c), (c, b), (d, d) }

REFERENCIAS:

Murillo, J. A. (2008). Matemáticas para la Computación. In J. A. Murillo, Matemáticas para la Computación (p. capitulo 3). Alfaomega.

Conjuntos

Conjuntos

Un conjunto es una colección bien definida de objetos llamados elementos o miembros del conjunto. (Georg Cantor)

Siempre se representan con una letra mayúscula.

 Por ejemplo: “Mandarina”

A= {m,a,n,d,r,i}

 A= {a,d,i,m,n,r}

Para conjuntos muy extensos se utiliza  “|” --> (tal que)

               A= {x | p(x)}

   Ejemplo:

B= {x | x es una palabra del idioma español que comienza con “e”}

Subconjuntos

Si todos los elementos de A también son elementos de B, se dice que A es subconjunto de B o que A esta contenido en B, y esto se denota como

                            A ÍB

Si A no es subconjunto de B se escribe:

A Ë B

Por otro lado, se dice que dos conjuntos A y B son iguales si tienen los mismos elementos, es decir, si se cumple que

                 A Í B y B Í A

Sean

A = {Rojo, Amarillo, Azul}

B = {Azul, Rojo, Amarillo}

Entonces

                 A = B

Ejemplo:

Considérense los siguientes conjuntos:

A = {x | xÎz;10 ≤ x ≤ 100}

B = {2, 3, 5, 11, 12, 15, 21, 30, 45, 82}

C = {12, 15, 45}

Entonces se tiene que:

C ÍB     A ËB

C ÍA     A Ë C

B ËA     B Ë C

Diagramas de Venn

Los diagramas de Venn son representaciones gráficas para mostrar la relación entre los elementos de los conjuntos. Por lo general cada conjunto se representa por medio de un circulo, ovalo o rectángulo, y la forma enque se entrelazan las figuras que representan a los conjuntos muestra la relación que existe entre los elementos de los respectivos conjuntos.

Operaciones y leyes de conjuntos

•            

• 
  

  • 
    
• Unión (A U B)

La unión del conjunto A y el conjunto B es el conjunto que contiene a todos los elementos del

conjunto A y del conjunto B.

 Intersección (A ∩ B)

 La intersección del conjunto A y el conjunto B es el conjunto que contienea todos los elementos que son comunes a los conjuntos A y B.

Complemento A’

El complemento de un conjunto A, que se denota como A', es el conjunto que contiene a todos los elementos del conjunto universo que no pertenecen al conjunto A.

    

   Diferencia (A - B)

La diferencia entre dos conjuntos arbitrarios A y B es el conjunto que condenea todos los elementos del conjunto A que no se encuentran en B.

Diferencia Simétrica (A ⊕ B)

Es el conjunto que contiene a todos los elementos que se encuentran en el conjunto A pero no están en el conjunto B y también a los elementosdel conjunto B que no están en A.

Ejercicios:

U= {1, 2, 3,…10}

A= {1, 4, 7, 10}

B= {1, 2, 3, 4, 5}

C= {2, 4, 6, 8}

        Ejercicios: 

    Instrucciones.- contesta lo que se te pida y realiza el diagrama de Venn para cada ejercicio

1    1.-  De 34 programas revisados  en programación “ctt”, 23 marcan error en la compilación, 12 tuvieron fallas en lógica y 5 en lógica y compilación. ¿Cuántos programas tuvieron al menos un tipo de error?  25   

U = 34

A = 23 (compiladores)

B = 12 (lógica)       

      A Ç B = 5 

A Å B = 20

     2.-   En la biblioteca existen  libros de ciencias de la computación que tratan en ciertas medidas los siguientes temas:

• 
  
•          Compiladores
•       Estructura de datos
•          Redes

Del total, 50  libros tienen información sobre compiladores, 54 sobre estructura de datos, 51 sobre redes, 30 sobre compiladores y estructuras de datos, 32 sobre compiladores y redes, 35 sobre estructura de datos y redes, 19 sobre los tres temas.

a)    ¿Cuántos libros contienen material exactamente sobre uno de los tres temas? 18

b)    ¿Cuántos no tienen material de redes? 26

c)     ¿Cuántos no tienen material sobre ninguno de los temas? 26

d)  ¿Cuántos libros contienen material de compiladores y redes pero no de estructuras de datos? 23         

U = 103

A = 50 (compiladores)

B = 54 (estructura de datos)

C = 51 (redes)

A Ç B = 30

A Ç C = 32

B Ç C = 35

A Ç B Ç C = 19

      3.- Pon en el paréntesis de cada uno de los incisos una “V” si la aseveración es verdadera o bien una “F” si es falso.

               a)  F Í (C-D)                                               (V)

               b) E Í D                                                     (V)

               c) E Í (C Ç D)                                             (V)

               d) (A Ç B) = 0                                              (F)

               e) (D – C) Í (B – A)                                       (F)

               f) (C  Ç D) Í U                                             (V)

               g) D = {1, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 13, 14}                  (V)

               h) B Í A                                                       (F)

               i) U – (C  Ç D) = {4, 15, 16}                          (F)

               j) E = (C  Ç D)                                               (F)

                k) (C Å D) = {1, 2, 3, 5, 9, 10, 11, 12, 14}      (F)

                l) D – U = O                                                  (V)

                m) B – A = {5, 8}                                          (V)

 REFERENCIAS:

Murillo, J. A. (2008). Matemáticas para la Computación. In J. A. Murillo, Matemáticas para la Computación (p. capitulo 3). Alfaomega.